نظرية الاحتمال هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية ، فالبنسبة للرياضيين تعتبر الإحتمالات عبارة عن أرقام محصورة في المجال بين 0 و+1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد . يتم تحديد احتمال الحدث E بالقيمة حسب بدهيات الاحتمال .
مثال لبيان دالة توزيع في حالة متغير منقطع
كما ندعو احتمال الحدث E علما بحدوث الحدث F : الاحتمال الشرطي للحدث E مع العلم بحدوث F. نمثل هذا الاحتمال الشرطي بالنسبة بين احتمال التقاطع بين الحدثين ( أي حدوثهما معا ) إلى احتمال حدوث الحدث F ، أي . إذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث E علما بوقوع F عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي أن الاحتمال واحد في حال وقوع F أو عدم وقوعه عندئذ نقول أن هذين الحدثين مستقلين .
تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الأهمية : المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي .
مخطط التوزيع الهندسي
[عدل] نظرة أكثر تجريدية
تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية .إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث, المتغيرات العشوائية, والعمليات العشوائية. لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس Richard von Mises وبين نظريةالقياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات مالبث أن أصبح بلا منازع الأساس البدهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.
يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية , حيث
Ω تمثل مجموعة غير خالية, تدعى أحيانا فضاء العينة "sample space",
هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها : حدثا event .
لكي نستطيع ان نقول أن يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي Ω, وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا ، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا .
P يمثل قياس احتمالي probability measure على , أي, قياس بحيث يكون
P(Ω) = 1, أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد. تدعى الثنائية فضاءا مقاسا أو فضاءا قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه.
من المهم أن نلاحظ أن P تشكل دالة معرفة على وليس على فضاء العينة Ω.
مثال لبيان دالة توزيع في حالة متغير منقطع
كما ندعو احتمال الحدث E علما بحدوث الحدث F : الاحتمال الشرطي للحدث E مع العلم بحدوث F. نمثل هذا الاحتمال الشرطي بالنسبة بين احتمال التقاطع بين الحدثين ( أي حدوثهما معا ) إلى احتمال حدوث الحدث F ، أي . إذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث E علما بوقوع F عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي أن الاحتمال واحد في حال وقوع F أو عدم وقوعه عندئذ نقول أن هذين الحدثين مستقلين .
تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الأهمية : المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي .
مخطط التوزيع الهندسي
[عدل] نظرة أكثر تجريدية
تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية .إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث, المتغيرات العشوائية, والعمليات العشوائية. لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس Richard von Mises وبين نظريةالقياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات مالبث أن أصبح بلا منازع الأساس البدهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.
يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية , حيث
Ω تمثل مجموعة غير خالية, تدعى أحيانا فضاء العينة "sample space",
هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها : حدثا event .
لكي نستطيع ان نقول أن يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي Ω, وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا ، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا .
P يمثل قياس احتمالي probability measure على , أي, قياس بحيث يكون
P(Ω) = 1, أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد. تدعى الثنائية فضاءا مقاسا أو فضاءا قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه.
من المهم أن نلاحظ أن P تشكل دالة معرفة على وليس على فضاء العينة Ω.
