سبق لك وأن درست النسب الاساسية المثلثية للزاوية الحادة ( انظر الشكل أدناه) حيث أن :
جا ﻫ = المقابل = أ ب أ
الوتر أ ج
جتا ﻫ = المجاور = ب ج
الوتر أ ج
ب ﻫ ج
ظا ﻫ = المقابل = أ ب
المجاور ب ج
وسنقوم في هذا البند بدراسة النسب المثلثية لأي زاوي مهما كان قياسها تذكر أن معادلة دائرة
الوحدة هي : س2 + ص2 =1 وأن بيانها كما في الشكل المجاور:
ب(س،ص)
لنفرض ان زاوية أ و ب في وضعها القياسي وان قياسها ﻫ ،
أ و
حيث ب نقطة تقاطع ضلع انتهائها مع الدائرة ، واحداثيات ب
هي ( س، ص) فمن تعريف النسب المثلثية ، يكون:
جا ﻫ = المقابل = ص = جا ﻫ = ص
الوتر 1
جتا ﻫ = المجاور = س = جتا ﻫ = س .
الوتر 1
احداثيات النقطة ب هي ( س، ص) = ( جتا ﻫ ، جا ﻫ )
وهذا يقودنا للتعريف الآتي:
اذا كانت النقطة ب ( س، ص) نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية القياسية ﻫ مع دائرة الوحدة فان
الاقترانات المثلثية الاساسية للزاوية ﻫ هي :
جتا ﻫ = س ، جا ﻫ = ص ، ظا ﻫ = ص = ، س ¹0
س
ملاحظة : بما ان معادلة درائرة الوحدة هي س2 + ص2 = 1 فان جتا 2 + جا 2 ﻫ = 1
وحيث ان -1 ³ س ³ 1 فان -1 ³ جتا ﻫ ³ 1 ، -1 ³ جا ﻫ ³ 1
تعريف:
اذا كانت ﻫ زاوية في الوضع القياسي وضلع الانتهاء يقطع دائرة الوحدة في النقطة
ب ( س، ص)
فان الاقتران المثلثية الثانوية للزاوية ﻫ هي :
* قاطع الزاوية ﻫ ويرمز له قا ﻫ = 1 ، جتا ﻫ ¹ 0 أو قا ﻫ = 1 ، س ¹ 0
جتا ﻫ س
* قاطع تمام الزاوية ﻫ ويرمز له قتا ﻫ = 1 ، جا ﻫ ¹ 0
جاﻫ
* ظل تمام الزاوية ﻫ ويرمز له ظتا ﻫ = 1 = جتا ﻫ ، جاﻫ ¹ 0
ظا ﻫ جاﻫ
لاحظ أن الاقترانات المثلثية هي مقلوب للاقترانات المثلثية الأساسية بيحث أن الاقتران الذي لا
يحتوي الحرف ت هو مقلوب لاقتران يحتوي الحرف ت والعكس صحيح .
مثال: اكتب قيمة النسب المثلثية الاساسية للزاوية صفر
الحل: الشكل المجاور يبين تقاطع ضلع الانتهاء للزوايا مع دائرة الوحدة ، احداثيات نقطة تقاطع
ضلع انتهاء الزاوية 0 مع دائرة الوحدة هي ( 1، 0 )
اذن جتا 0 = 1 ( الاحداثي السيني للنقطة) (0، 1)
جا 0 = 0 ( الاحداثي الصادي للنقطة)
ظا 0 = جا 0 = 0 = 0 (1 ،0) (-1،0)
جتا0 1
(0 ،-1)
ملاحظة: تتحدد اشارة الاقترانات المثلثية للزاوية ﻫ المرسومة في الوضع القياسي بالربع الذي
يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية ، على النحو التالي :
أ) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الاول فان كلا من س ، ص
موجبة وبالتالي جميع الاقترانات المثلثية موجبة .
ب) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثاني فان س أصغر من
صفر ، ص أكبر من صفر ، وعلى ذلك يكون الجيب فقط موجب ، ( باقي
الاقترانات المثلثية الأساسية سالبة ) .
ت) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثالث فان كلا من س ، ص
سالبة وبالتالي فان النسبة بين س وص موجبة أي ان الظل فقط موجب
( باقي الاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )
ث) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الرابع فان س أكبر من صفر
، ص أصغر من صفر . وبالتالي جيب التمام فقط موجب ( باقي
ا لاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )
والشكل المجاور يلخص ذلك حيث أنه تم ذكر الاقترانات الاساسية الموجبة فقط .
ويمكن تلخيص الملاحظات اعلاه في الجملة : كل جيب يظلله جتاه
+ +
كل جاﻫ
+ +
جتا ﻫ ظا ﻫ
تمارين ومسائل:
1) اذا كان جا ﻫ = 1 وكانت ﻫ زاوية ضلع انتهائها في الربع الثاني ، اجد قيمة جميع
2
النسب المثلثية للزاوية ﻫ .
2) بين ان 1 + ظا 2 45 = قا2 45 .
3) بين أن 1 + ظتا 2 45 = قتا2 45
جا ﻫ = المقابل = أ ب أ
الوتر أ ج
جتا ﻫ = المجاور = ب ج
الوتر أ ج
ب ﻫ ج
ظا ﻫ = المقابل = أ ب
المجاور ب ج
وسنقوم في هذا البند بدراسة النسب المثلثية لأي زاوي مهما كان قياسها تذكر أن معادلة دائرة
الوحدة هي : س2 + ص2 =1 وأن بيانها كما في الشكل المجاور:
ب(س،ص)
لنفرض ان زاوية أ و ب في وضعها القياسي وان قياسها ﻫ ،
أ و
حيث ب نقطة تقاطع ضلع انتهائها مع الدائرة ، واحداثيات ب
هي ( س، ص) فمن تعريف النسب المثلثية ، يكون:
جا ﻫ = المقابل = ص = جا ﻫ = ص
الوتر 1
جتا ﻫ = المجاور = س = جتا ﻫ = س .
الوتر 1
احداثيات النقطة ب هي ( س، ص) = ( جتا ﻫ ، جا ﻫ )
وهذا يقودنا للتعريف الآتي:
اذا كانت النقطة ب ( س، ص) نقطة تقاطع ضلع انتهاء الزاوية القياسية ﻫ مع دائرة الوحدة فان
الاقترانات المثلثية الاساسية للزاوية ﻫ هي :
جتا ﻫ = س ، جا ﻫ = ص ، ظا ﻫ = ص = ، س ¹0
س
ملاحظة : بما ان معادلة درائرة الوحدة هي س2 + ص2 = 1 فان جتا 2 + جا 2 ﻫ = 1
وحيث ان -1 ³ س ³ 1 فان -1 ³ جتا ﻫ ³ 1 ، -1 ³ جا ﻫ ³ 1
تعريف:
اذا كانت ﻫ زاوية في الوضع القياسي وضلع الانتهاء يقطع دائرة الوحدة في النقطة
ب ( س، ص)
فان الاقتران المثلثية الثانوية للزاوية ﻫ هي :
* قاطع الزاوية ﻫ ويرمز له قا ﻫ = 1 ، جتا ﻫ ¹ 0 أو قا ﻫ = 1 ، س ¹ 0
جتا ﻫ س
* قاطع تمام الزاوية ﻫ ويرمز له قتا ﻫ = 1 ، جا ﻫ ¹ 0
جاﻫ
* ظل تمام الزاوية ﻫ ويرمز له ظتا ﻫ = 1 = جتا ﻫ ، جاﻫ ¹ 0
ظا ﻫ جاﻫ
لاحظ أن الاقترانات المثلثية هي مقلوب للاقترانات المثلثية الأساسية بيحث أن الاقتران الذي لا
يحتوي الحرف ت هو مقلوب لاقتران يحتوي الحرف ت والعكس صحيح .
مثال: اكتب قيمة النسب المثلثية الاساسية للزاوية صفر
الحل: الشكل المجاور يبين تقاطع ضلع الانتهاء للزوايا مع دائرة الوحدة ، احداثيات نقطة تقاطع
ضلع انتهاء الزاوية 0 مع دائرة الوحدة هي ( 1، 0 )
اذن جتا 0 = 1 ( الاحداثي السيني للنقطة) (0، 1)
جا 0 = 0 ( الاحداثي الصادي للنقطة)
ظا 0 = جا 0 = 0 = 0 (1 ،0) (-1،0)
جتا0 1
(0 ،-1)
ملاحظة: تتحدد اشارة الاقترانات المثلثية للزاوية ﻫ المرسومة في الوضع القياسي بالربع الذي
يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية ، على النحو التالي :
أ) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الاول فان كلا من س ، ص
موجبة وبالتالي جميع الاقترانات المثلثية موجبة .
ب) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثاني فان س أصغر من
صفر ، ص أكبر من صفر ، وعلى ذلك يكون الجيب فقط موجب ، ( باقي
الاقترانات المثلثية الأساسية سالبة ) .
ت) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الثالث فان كلا من س ، ص
سالبة وبالتالي فان النسبة بين س وص موجبة أي ان الظل فقط موجب
( باقي الاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )
ث) اذا وقع ضلع انتهاء الزاوية ﻫ في الربع الرابع فان س أكبر من صفر
، ص أصغر من صفر . وبالتالي جيب التمام فقط موجب ( باقي
ا لاقترانات المثلثية الاساسية سالبة )
والشكل المجاور يلخص ذلك حيث أنه تم ذكر الاقترانات الاساسية الموجبة فقط .
ويمكن تلخيص الملاحظات اعلاه في الجملة : كل جيب يظلله جتاه
+ +
كل جاﻫ
+ +
جتا ﻫ ظا ﻫ
تمارين ومسائل:
1) اذا كان جا ﻫ = 1 وكانت ﻫ زاوية ضلع انتهائها في الربع الثاني ، اجد قيمة جميع
2
النسب المثلثية للزاوية ﻫ .
2) بين ان 1 + ظا 2 45 = قا2 45 .
3) بين أن 1 + ظتا 2 45 = قتا2 45
