السلام عليكم ورحمة الله وبركاته:
- - - - - - - - - - - - - - - -
مفهوم إشارة السالب و الموجب في العِبارات الحسابية وطرق تبسيطها, والإشارة المحتملة في الناتج
مقدمة:
اخوتنا الكرام, حابة اقدم درس لمنتدى الرياضيات, درس بسيط او نعتبره كورس زغير لما قبل الجبْر في مفهوم و كيفية التعامل مع الإشارة الموجبة "+" و السالبة "-" أثناء العمليات الحسابية مثل الجمع , الطرح, الضرب, الـ الـ. الدرس ابتدائي, بالضبط لأني مبتدئة و حابة اقدم شيء للمبتدئين | المبتدئات. ايضاً هناك من يحتاج أن يتذكر مثل هذي الأمور أو من يريد التفكير بها بطريقة أخرى غير تلك التي اعتاد عليها. حسناً, رح تشوفوا اشارات و ارقام و شيء يسبب الصداع, لكن الحقيقة غير كذا ابداً, لأني رايحة اعلمكم كيف تتعاملوا معها بشكل مبسّط. بالطبع للموضوع اهمية عظيمة متعلقة بعلم الجبر و تبسيط العبارات الحسابية و ما إلى ذلك. لكن لا يعني انه خاص بعلم الجبر! لا بل أساسي في علم الحساب نفسه. و أيضاً لكل مبرمج| مبرمجة ضرورة فهم هذا الكورس لإنشاء برامج سريعة.ملاحظة قبل البدء: دائماً اخوتي اصحاب المنهج العربي في الحساب. اقرأوا و تبعوا معي العِبارات الحسابية من اليسار إلى اليمين و ليس العكس.
خط الأعداد Line Numbers:
دائماً نكتب العدد الموجب بدفاترنا و كتبنا بدون إضافة إشارة الإيجاب Positive sign(+). يعني مثلا العدد 1 أو العدد 5 مسبوقين بإشارة (+) و هن اصلاً على الشكل هذا 1+ أو 5+. و لكننا لسنا مضطرين لكتابتها لأنها بديهيّات و مسلّمات رياضية للإختصار. بالطبع لو كان هناك اشارة سالب"-" Negative Sign(-)فإننا نضطر لكتابتها علناً لأنها تنفي و تنكر إشارة الموجب"+".
يا ترى هذي الحقيقة من أين اتت؟ حسناً, أتت من حقيقة خط الأعداد Line Numbers. خط الأعداد هو عبارة عن خط مستقيم مقسّم إلى أجزاء متساوية (ممكن نسميها فترات متساوية) و يقع على هذا الخط نقطة الأصل The Origin و التي لها قيمة صفر, و هي التي تجلعنا نميَز إيجابية العدد او وسلبيته, او تجعلنا نميّز إيجابة الإتجاه و سلبيته. على سبيل المثال الأعداد التي تأتي بعد الصفر مباشرة ذاهبةً نحو الشرق كلها أعداد موجبة, و الأعداد التي تأتي قبل الصفر إلى نحو الغرب كلها أعداد سالبة. شاهدوا الرسمة التالية عبارة عن شريحة لخط الأعداد.
و لاحظوا الرسم المتحرّك التالي الذي يبيّن لنا إتجاهنا على خط الأعداد و ذلك بالتمثيل بالإشارة الموجبة (+) و السالبة (-): راقبوا حركة النقطة و اتجاها:
تلاحظوا, الإشارة السالبة و الموجبة من الرسم المتحرك السابق ايضاً تفيدنا بالإتجاه و ليس ضروري بالمكان تحديداً, لنعتبرها مثال للزيادة و النقصان (الجمع, الطرح).
الآن ناخذ مثال على خط الأعداد تُسمّى عند اصحابنا الرياضيين بعملية الجمع Addition Operation.
شوفوا حقيقة العملية على خط الأعداد مع مراعاة إشارة الموجب(+) على أنها تحديد اتجاهنا وليس كعملية جمع:
ناخذ عملية أخرى, الرياضيين يدعوها بعملية الطرح Subtraction Operation:
ايضاً راقبوا حقيقة هذه العملية على خط الأعداد:
الآن انا رايدة تشوفوا عملية! ماني عارفة هي جمع أو طرح؟
شوفوها على خط الأعداد:
بالطبع رياضياً هي عملية "طرح". لكن يا ترى لش الإشارة سالب بالناتج 1-؟؟؟ اوكي, لأن النقطة لا تزال داخل قسم السالب(قبل الصفر من جهة الغرب).
يا ترى نحنا فاضين نجلس نرسم خط اعداد و نعمل رسوم متحركة؟ اوكي علشان كذا انا مقدمة لكم المفاهيم هذي كحقائق تؤمنوا بها في علم الحساب, لكن هناك المفاهيم القادمة التي تبسّط هذه المفاهيم ذهنياً اثناء إجراء العمليات و التبسيط بدون مراجعة خط الأعداد و عمل رسوم متحركة في الذهن.
مفهوم بسيط عن الإنكار (النفي) Negation:
راقبوا العملية التالية يا ترى شو هي بالضبط, جمع أو طرح؟
قبل ما تخمنوا شوفوا العبارة التالية شو تطلع: "أنا لستُ لستُ جائعة"! شو يعني؟؟؟ معناها "أنا جائعة". لش؟ لأنها نفي النفي!! " لستُ" الأولى نفت الجملة التي تليها "لستُ جائعة". كذلك الإشارات إشارة السالب قبل العدد 4 دخلت على العبارة الحسابية لتجعلها عملية طرح. و لكن إشارة السالب الثانية نفتها و أنكرتها و حولتها إلى عملية جمع, بهذا المفهوم الناتج كالتالي:
لاحظوا بالرغم من غزارة إشارات السالب بالعبارة الحسابية إلا أن العملية تعتبر جمع 3 إلى 4 لتصبح 7. و الإشارة "-" في الإجابة كانت لمراعاة و احترام بعض المفاهيم الحسابية التي سنتعرف عليها لاحقاً.
نشوف عبارة حسابية خالية من الكلسترول "بدون اعداد او اقواس" تحتوي على إشارات فقط علشان يرسخ مفهوم الإنكار و تتبع الإشارات. كالتالي:
بالضبط كأننا نقرأ جملة عادية من اليسار لليمين. خلاص؟
نبدأ العملية جمع"+", نتقدم خطوة "تك تك" هناك إشارة سالب "-" أنكرت عملية الجمع و قلبتها إلى "طرح", مرة ثانية نتقدم خطوة, "أووبز"! هناك سالب"-" أنكرت عملية الطرح الجديدة و و رجعتها مرة ثانية "جمع", نتقدم خطوة و نصادف "+" و إشارة الموجب ما تنكر شيء عادي تقوم بتمرير العملية السابقة لها مباشرة "لا تزال جمع", خطوة أخيرة,, "تك تك" إشارة "-" أنكرت و نفت العملية بالكامل وضيعت تعبنا وقلبتها إلى طرح.
طيب شو رايكم نضع اعداد بين الإشارات السابقة و نبسط العملية جبرياً, علشان بس نعرف شو يعني تبسيط العبارات في الجبر, و علشان برمجة سريعة ايضاً (بالنسبة للمبرمجين و المبرمجات يا ترى العملية الوحدة كم تأخذ وقت من المعالج, كم دورة life-cycle؟) علشان كذا الدرس مهم لكم ايضاً.: حسناً كالتالي:
مما سبق!!! الآن إشارتين السالبة الموجودة بين +3 و اختها اللي داخل القوس نقلبهن إيجاب "+", طبعاً ليس هناك داعي لكتابة إشارة الموجب"+" الموجودة بأول العبارة, كانت موجودة فقط لتوضيح حقيقة العدد الذي ليس له إشارة بأنه عدد موجب. يعني تبسيط العملية كالتالي:
الناتج بكل بساطة "8" بالطبع "+8" لو تحبوا.
قاعدة 1:
لاحظوا أخواني|أخواتي, لا نضُم إشارتين سالبة و نقلبهن إلى موجب إلا في حالة لو كانوا خلف بعضهن بدون أي شيء يفصلهن! مثل
– (-3) هذي نقلبها إلى إشارة موجب"+" بكل جرأة علشان نحصل على +3.
قاعدة 2:
دائماً نلغي إشارة الموجب"+" الموجودة قبل العدد في حالتين فقط هن:
1. إذا كانت في بداية العبارة الحسابية.
2. أو إذا كان قبلها سالب عائم (إشارة سالب ليس بعده عدد. أي لا ينتمي إلى أي عدد في العِبارة).
من هذا المثال فإن إشارة الموجب"+" قبل العدد 3 تُلغى بسبب أنها موجودة بأول العبارة الحسابية (من الشرط 1 سابقاً). و إشارة الموجب قبل العدد 4 ايضاً تُلغى بسبب وجود إشارة سالب عائمة قبلها مباشرة و هذا من الشرط 2 سابقاً. لتصبح العبارة مبسّطة كالتالي:
ماهي الإشارة التي نقوم بتضمينها في الناتج؟
شاهدوا العبارة التالية:
خلاص, نحنا عارفين بأن العملية طرح من المفاهيم السابقة و الناتج 1 لكن الإشارة شو؟ ارسم خط اعداد من جديد علشان اشوف؟ طبعاً لا, و لكن الفوز للأكبر The Biggest Alaways Wins. إذا يأخذ إشارة السالب و يصير -1 إحتراماً لإشارة الأكبر و هو العدد 3 في هذا المثال. كذلك لو تلاحظوا الأمثلة التالية:
لاحظوا العملية الثالثة الإشارة كانت للعدد الأكبر في العبارة, و لا يهمنا الترتيب في العبارة. و ايضاً في العملية عندما نقرأها نجدها جمع في البداية بسبب إشارة الموجب مع العدد 5(غير مرئي) ثم استمرينا بالقراءة لنجد إشارة السالب تُنكر عملية الجمع لتجعل العملية طرح. يعني اخوتي تقدروا تعتبروا الدرس حقائق عن الجمع و الطرح و الإشارات لكن بثقافة ثانية و مفاهيم أخرى.
لاحظوا من المثال الأول العملية جمع و الناتج اخذ الإشارة السالبة تقديراً للعدد الأكبر "4" ايضاً, المثال الذي يليه الناتج أخذ إشارة العدد الأكبر "+10".
ماهي الإشارة المتضمنة في ناتج عملية الضرب؟ (إضافي)
بسيطة جداً: نشوف العبارة الحسابية المضروبة ونضرب عادي بدون اهتمام إلى أي إشارة سالبة او موجبة. بعد الحصول على الناتج نقوم بعملية عدّ الإشارات السالبة الموجودة بتلك العبارة الحسابية. إذا كان عدد هو عدد فردي نكتب الناتج مصحوباً بالإشارة السالبة"-". و إذا كان عددها عدد زوجي فإننا ندعها موجبة ضمنياً دون التصريح بإشارة الإيجاب"+".
مثال:
ايضاً نفس الحال بخصوص الأسسThe Exponents :
لاحظوا في تعامل الأعداد السالبة مع الأسس فهناك وجوب لضمهن بين الأقواس. و ايضاً لاحظوا إذا كان الأس عدد فردي فإن الناتج حتماً سيتضمن إشارة سالب و إذا كان عدد زوجي فليس إلا الأشارة الضمنية (إشارة موجب بدون كتابة).
ماهي الإشارة المتضمّنة في ناتج القسمة:
بالضبط مثل الضرب تماما و لكن قسمة وليس ضرب. ونفس المفهوم ايضاً ينبطق على العبارات المخلوطة التي تحتوي على ضرب و قسمة. ادرسوا المثال التالي:
خاتمة:
تم و بحمد الله الدرس الإبتدائي المتعلق بالإشارات السالبة و الموجبة و مبادئها و كيفية تضمينها في الإجابات. راجية من الله أن يجعله في ميزان حسناتنا جميعاً.
====
تمنياتي لكم بالتوفيق.
- - - - - - - - - - - - - - - -
مفهوم إشارة السالب و الموجب في العِبارات الحسابية وطرق تبسيطها, والإشارة المحتملة في الناتج
مقدمة:
اخوتنا الكرام, حابة اقدم درس لمنتدى الرياضيات, درس بسيط او نعتبره كورس زغير لما قبل الجبْر في مفهوم و كيفية التعامل مع الإشارة الموجبة "+" و السالبة "-" أثناء العمليات الحسابية مثل الجمع , الطرح, الضرب, الـ الـ. الدرس ابتدائي, بالضبط لأني مبتدئة و حابة اقدم شيء للمبتدئين | المبتدئات. ايضاً هناك من يحتاج أن يتذكر مثل هذي الأمور أو من يريد التفكير بها بطريقة أخرى غير تلك التي اعتاد عليها. حسناً, رح تشوفوا اشارات و ارقام و شيء يسبب الصداع, لكن الحقيقة غير كذا ابداً, لأني رايحة اعلمكم كيف تتعاملوا معها بشكل مبسّط. بالطبع للموضوع اهمية عظيمة متعلقة بعلم الجبر و تبسيط العبارات الحسابية و ما إلى ذلك. لكن لا يعني انه خاص بعلم الجبر! لا بل أساسي في علم الحساب نفسه. و أيضاً لكل مبرمج| مبرمجة ضرورة فهم هذا الكورس لإنشاء برامج سريعة.ملاحظة قبل البدء: دائماً اخوتي اصحاب المنهج العربي في الحساب. اقرأوا و تبعوا معي العِبارات الحسابية من اليسار إلى اليمين و ليس العكس.
خط الأعداد Line Numbers:
دائماً نكتب العدد الموجب بدفاترنا و كتبنا بدون إضافة إشارة الإيجاب Positive sign(+). يعني مثلا العدد 1 أو العدد 5 مسبوقين بإشارة (+) و هن اصلاً على الشكل هذا 1+ أو 5+. و لكننا لسنا مضطرين لكتابتها لأنها بديهيّات و مسلّمات رياضية للإختصار. بالطبع لو كان هناك اشارة سالب"-" Negative Sign(-)فإننا نضطر لكتابتها علناً لأنها تنفي و تنكر إشارة الموجب"+".
يا ترى هذي الحقيقة من أين اتت؟ حسناً, أتت من حقيقة خط الأعداد Line Numbers. خط الأعداد هو عبارة عن خط مستقيم مقسّم إلى أجزاء متساوية (ممكن نسميها فترات متساوية) و يقع على هذا الخط نقطة الأصل The Origin و التي لها قيمة صفر, و هي التي تجلعنا نميَز إيجابية العدد او وسلبيته, او تجعلنا نميّز إيجابة الإتجاه و سلبيته. على سبيل المثال الأعداد التي تأتي بعد الصفر مباشرة ذاهبةً نحو الشرق كلها أعداد موجبة, و الأعداد التي تأتي قبل الصفر إلى نحو الغرب كلها أعداد سالبة. شاهدوا الرسمة التالية عبارة عن شريحة لخط الأعداد.
و لاحظوا الرسم المتحرّك التالي الذي يبيّن لنا إتجاهنا على خط الأعداد و ذلك بالتمثيل بالإشارة الموجبة (+) و السالبة (-): راقبوا حركة النقطة و اتجاها:
تلاحظوا, الإشارة السالبة و الموجبة من الرسم المتحرك السابق ايضاً تفيدنا بالإتجاه و ليس ضروري بالمكان تحديداً, لنعتبرها مثال للزيادة و النقصان (الجمع, الطرح).
الآن ناخذ مثال على خط الأعداد تُسمّى عند اصحابنا الرياضيين بعملية الجمع Addition Operation.
شوفوا حقيقة العملية على خط الأعداد مع مراعاة إشارة الموجب(+) على أنها تحديد اتجاهنا وليس كعملية جمع:
ناخذ عملية أخرى, الرياضيين يدعوها بعملية الطرح Subtraction Operation:
ايضاً راقبوا حقيقة هذه العملية على خط الأعداد:
الآن انا رايدة تشوفوا عملية! ماني عارفة هي جمع أو طرح؟
شوفوها على خط الأعداد:
بالطبع رياضياً هي عملية "طرح". لكن يا ترى لش الإشارة سالب بالناتج 1-؟؟؟ اوكي, لأن النقطة لا تزال داخل قسم السالب(قبل الصفر من جهة الغرب).
يا ترى نحنا فاضين نجلس نرسم خط اعداد و نعمل رسوم متحركة؟ اوكي علشان كذا انا مقدمة لكم المفاهيم هذي كحقائق تؤمنوا بها في علم الحساب, لكن هناك المفاهيم القادمة التي تبسّط هذه المفاهيم ذهنياً اثناء إجراء العمليات و التبسيط بدون مراجعة خط الأعداد و عمل رسوم متحركة في الذهن.
مفهوم بسيط عن الإنكار (النفي) Negation:
راقبوا العملية التالية يا ترى شو هي بالضبط, جمع أو طرح؟
قبل ما تخمنوا شوفوا العبارة التالية شو تطلع: "أنا لستُ لستُ جائعة"! شو يعني؟؟؟ معناها "أنا جائعة". لش؟ لأنها نفي النفي!! " لستُ" الأولى نفت الجملة التي تليها "لستُ جائعة". كذلك الإشارات إشارة السالب قبل العدد 4 دخلت على العبارة الحسابية لتجعلها عملية طرح. و لكن إشارة السالب الثانية نفتها و أنكرتها و حولتها إلى عملية جمع, بهذا المفهوم الناتج كالتالي:
لاحظوا بالرغم من غزارة إشارات السالب بالعبارة الحسابية إلا أن العملية تعتبر جمع 3 إلى 4 لتصبح 7. و الإشارة "-" في الإجابة كانت لمراعاة و احترام بعض المفاهيم الحسابية التي سنتعرف عليها لاحقاً.
نشوف عبارة حسابية خالية من الكلسترول "بدون اعداد او اقواس" تحتوي على إشارات فقط علشان يرسخ مفهوم الإنكار و تتبع الإشارات. كالتالي:
بالضبط كأننا نقرأ جملة عادية من اليسار لليمين. خلاص؟
نبدأ العملية جمع"+", نتقدم خطوة "تك تك" هناك إشارة سالب "-" أنكرت عملية الجمع و قلبتها إلى "طرح", مرة ثانية نتقدم خطوة, "أووبز"! هناك سالب"-" أنكرت عملية الطرح الجديدة و و رجعتها مرة ثانية "جمع", نتقدم خطوة و نصادف "+" و إشارة الموجب ما تنكر شيء عادي تقوم بتمرير العملية السابقة لها مباشرة "لا تزال جمع", خطوة أخيرة,, "تك تك" إشارة "-" أنكرت و نفت العملية بالكامل وضيعت تعبنا وقلبتها إلى طرح.
طيب شو رايكم نضع اعداد بين الإشارات السابقة و نبسط العملية جبرياً, علشان بس نعرف شو يعني تبسيط العبارات في الجبر, و علشان برمجة سريعة ايضاً (بالنسبة للمبرمجين و المبرمجات يا ترى العملية الوحدة كم تأخذ وقت من المعالج, كم دورة life-cycle؟) علشان كذا الدرس مهم لكم ايضاً.: حسناً كالتالي:
مما سبق!!! الآن إشارتين السالبة الموجودة بين +3 و اختها اللي داخل القوس نقلبهن إيجاب "+", طبعاً ليس هناك داعي لكتابة إشارة الموجب"+" الموجودة بأول العبارة, كانت موجودة فقط لتوضيح حقيقة العدد الذي ليس له إشارة بأنه عدد موجب. يعني تبسيط العملية كالتالي:
الناتج بكل بساطة "8" بالطبع "+8" لو تحبوا.
قاعدة 1:
لاحظوا أخواني|أخواتي, لا نضُم إشارتين سالبة و نقلبهن إلى موجب إلا في حالة لو كانوا خلف بعضهن بدون أي شيء يفصلهن! مثل
– (-3) هذي نقلبها إلى إشارة موجب"+" بكل جرأة علشان نحصل على +3.
قاعدة 2:
دائماً نلغي إشارة الموجب"+" الموجودة قبل العدد في حالتين فقط هن:
1. إذا كانت في بداية العبارة الحسابية.
2. أو إذا كان قبلها سالب عائم (إشارة سالب ليس بعده عدد. أي لا ينتمي إلى أي عدد في العِبارة).
من هذا المثال فإن إشارة الموجب"+" قبل العدد 3 تُلغى بسبب أنها موجودة بأول العبارة الحسابية (من الشرط 1 سابقاً). و إشارة الموجب قبل العدد 4 ايضاً تُلغى بسبب وجود إشارة سالب عائمة قبلها مباشرة و هذا من الشرط 2 سابقاً. لتصبح العبارة مبسّطة كالتالي:
ماهي الإشارة التي نقوم بتضمينها في الناتج؟
شاهدوا العبارة التالية:
خلاص, نحنا عارفين بأن العملية طرح من المفاهيم السابقة و الناتج 1 لكن الإشارة شو؟ ارسم خط اعداد من جديد علشان اشوف؟ طبعاً لا, و لكن الفوز للأكبر The Biggest Alaways Wins. إذا يأخذ إشارة السالب و يصير -1 إحتراماً لإشارة الأكبر و هو العدد 3 في هذا المثال. كذلك لو تلاحظوا الأمثلة التالية:
لاحظوا العملية الثالثة الإشارة كانت للعدد الأكبر في العبارة, و لا يهمنا الترتيب في العبارة. و ايضاً في العملية عندما نقرأها نجدها جمع في البداية بسبب إشارة الموجب مع العدد 5(غير مرئي) ثم استمرينا بالقراءة لنجد إشارة السالب تُنكر عملية الجمع لتجعل العملية طرح. يعني اخوتي تقدروا تعتبروا الدرس حقائق عن الجمع و الطرح و الإشارات لكن بثقافة ثانية و مفاهيم أخرى.
لاحظوا من المثال الأول العملية جمع و الناتج اخذ الإشارة السالبة تقديراً للعدد الأكبر "4" ايضاً, المثال الذي يليه الناتج أخذ إشارة العدد الأكبر "+10".
ماهي الإشارة المتضمنة في ناتج عملية الضرب؟ (إضافي)
بسيطة جداً: نشوف العبارة الحسابية المضروبة ونضرب عادي بدون اهتمام إلى أي إشارة سالبة او موجبة. بعد الحصول على الناتج نقوم بعملية عدّ الإشارات السالبة الموجودة بتلك العبارة الحسابية. إذا كان عدد هو عدد فردي نكتب الناتج مصحوباً بالإشارة السالبة"-". و إذا كان عددها عدد زوجي فإننا ندعها موجبة ضمنياً دون التصريح بإشارة الإيجاب"+".
مثال:
ايضاً نفس الحال بخصوص الأسسThe Exponents :
لاحظوا في تعامل الأعداد السالبة مع الأسس فهناك وجوب لضمهن بين الأقواس. و ايضاً لاحظوا إذا كان الأس عدد فردي فإن الناتج حتماً سيتضمن إشارة سالب و إذا كان عدد زوجي فليس إلا الأشارة الضمنية (إشارة موجب بدون كتابة).
ماهي الإشارة المتضمّنة في ناتج القسمة:
بالضبط مثل الضرب تماما و لكن قسمة وليس ضرب. ونفس المفهوم ايضاً ينبطق على العبارات المخلوطة التي تحتوي على ضرب و قسمة. ادرسوا المثال التالي:
خاتمة:
تم و بحمد الله الدرس الإبتدائي المتعلق بالإشارات السالبة و الموجبة و مبادئها و كيفية تضمينها في الإجابات. راجية من الله أن يجعله في ميزان حسناتنا جميعاً.
====
تمنياتي لكم بالتوفيق.
