لقد كانت الأعداد هي أول ما ظهر من علوم الرياضيات لكونها أقرب هذه العلوم إلى واقع الإنسان ، و تمتلك بعض الأعداد خصائص سحرية و غريبة جعلتها تجذب بال العلماء و الرياضيين و منها الأعداد الأولية .
تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من كونها غير منتظمة و بالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب ، بل إن لها تأثير أكبر من ذلك حيث وسعت خيال الرياضيين للإبحار فيما عرف بالأعداد الأولية الكبيرة و التي يقف العقل أمامها منذهلا من ضخامة هذه الأعداد و كيف توصل إليها العقل بنوعيه البشري و الآلي ، فيكفي أن نقول أن أكبر عدد أولي تم اكتشافه مؤخرا يحتاج لكتابته بخط صغير إلى ورقة طولها يقارب خمسة كيلومترات !!!
موقع الأرقام يتقدم بالشكر إلى أصحاب العديد من المواقع الإنجليزية وإلى صاحب موقع صندوق الرياضيات ، ونرجو أن نكون قد وفقنا بعض الشيء لمنفعة المتابع والباحث والطالب .
أعداد ميرسين الأولية
يتكرر هذا الإسم كثيرا في عالم الأعداد الأولية ، و هي الأعداد من الصورة : ، و لعل الذي جذب الأنظار إلى هذه الأعداد هو سهولة التحقق من أوليتها في الحواسيب الثنائية ، لذلك أكبر الأعداد الأولية المعروفة حاليا من هذه الصورة من الأعداد .
لقد كان عدد من الرياضيين السابقين يعتقدون أن العدد من الصورة يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا ، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : = 2047 = 23.89 ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 × 89 ، و في عام 1603 تحقق كاتالدي (Cataldi) أن العددان و أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرمات في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31 .
بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (Marin Mersenne) 1588-1648 ، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركبا لكل الأعداد n < 257 الصحيحة ، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه .
تعريف : عندما يكون العدد أوليا فإنه يسمى بعدد ميرسين الأولي .
كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد ( n<257 ) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين ، كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحق من موضوعته ، فبقيت كذلك إلى 100 سنة و ذلك عندما تحقق أويلر (Euler ) في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين لوكاس ( Lucas ) أن العدد كان أوليا ، و بعد سبع سنوات أثبت بيرفوستين (Pervouchine ) أن العدد أوليا و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس (Powers ) في بداية القرن القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددان الأوليان و و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :
(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي .
( أنظر : قائمة بأعداد ميرسين )
أعداد ميرسين المعروفة ( Mp= 2p-1 ) :
المكتشف
سنة الإكتشاف
عدد أرقام العدد ( Mp )
الأس (P)
م
----
----
1
2
1
----
----
1
3
2
----
----
2
5
3
----
----
3
7
4
anonymous
1456
4
13
5
Cataldi
1588
6
17
6
Cataldi
1588
6
19
7
Euler
1772
10
31
8
Pervushin
1883
19
61
9
Powers
1911
27
89
10
Powers
1914
33
107
11
Lucas
1876
39
127
12
Robinson
1952
157
521
13
Robinson
1952
183
607
14
Robinson
1952
386
1279
15
Robinson
1952
664
2203
16
Robinson
1952
687
2281
17
Riesel
1957
969
3217
18
Hurwitz
1961
1281
4253
19
Hurwitz
1961
1332
4423
20
Gillies
1963
2917
9689
21
Gillies
1963
2993
9941
22
Gillies
1963
3376
11213
23
Tuckerman
1971
6002
19937
24
Noll & Nickel
1978
6533
21701
25
Noll
1979
6987
23209
26
Nelson & Slowinski
1979
13395
44497
27
Slowinski
1982
25962
86243
28
Colquitt & Welsh
1988
33265
110503
29
Slowinski
1983
39751
132049
30
Slowinski
1985
65050
216091
31
Slowinski & Gage
1992
227832
756839
32
Slowinski & Gage
1994
258716
859433
33
Slowinski & Gage
1996
378632
1257787
34
Armengaud, Woltman,
et. al. (GIMPS)
1996
420921
1398269
35
Spence, Woltman,
et. al. (GIMPS)
1997
895932
2976221
36
Clarkson, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
1998
909526
3021377
37
Hajratwala, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
1999
2098960
6972593
38
( المصدر : http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml )
العدد التام ونظريات هامة
نظرا لوجود ارتباط بين الأعداد الأولية و الأعداد التامة فارتأيت توضيح مفهوم العدد التام قبل الدخول في النظريات و الإختبارات التي وضعها العلماء لفحص الأعداد و معرفة أوليتها .
عدد من الحضارات القديمة كانت مهتمة بالعلاقات بين العدد و مجموع عوامله ، و غالبا ما تقدم تفسيرات سحرية ، و أحد هذه العلاقات أفرزت ما يسمى بالعدد التام . ( انظر تعريف العدد التام )
أول عدد تام هو 6 حيث أن : 6 = 1 + 2 + 3
و العدد التام التالي هو : 28= 1+ 2 + 4 + 7 + 14
و العددان التامان التاليان هما : 496 و 8128 .
كانت هذه الأعداد الأربعة هي الأعداد التامة المعروفة حتى عصر المسيح ، و لو جئنا إلى هذه الأعداد لتحليلها فسوف نجد أنه بإمكاننا تحليلها كالتالي : 2.3 , 4.7 , 13.31 , 64.127 ، فنلاحظ أن جميعها من الصورة لكل ( n = 2,3,5,7 ) بالترتيب ، و في كل حالة هو من أعداد ميرسين الأولية ، و هنا مربط اللغز بشأن علاقة الأعداد التامة بأعداد ميرسين الأولية .
و نستطيع مما سبق أن نثبت بسهولة النظريات التالية :
نظرية 1 : يقال للعدد n أنه تاما إذا و فقط إذا كان على الصورة ، و عدد أولي .
( البرهان )
نظرية 1 : يقال للعدد n أنه تاما إذا و فقط إذا كان على الصورة 2k-1(2k-1) ، و 2k-1 عدد أولي
( البرهان )
نفرض أولا أن p = 2k-1 عددا أوليا ، و n = 2k-1(2k-1) . لإثبات أن العدد nتاما يجب أن نثبت أن : sigma(n)=2n . ( انظر معنى sigma)
بما أن دالة السيجما ضربية (multiplicative ) ، و s(p) = p+1=2k ، بالتالي نستطيع أن نعرف أن : s(n) = s(2k-1). s(p) = (2k-1)2k = 2n ، و هذا يثبت أن n عدد تام .
و على الجانب الآخر ، لنفرض أن n عددا تاما زوجيا ، و ليكن n = 2k-1.mn حيث m عدد فردي ، k ³ 2. و بما أن دالة السيجما ضربية ، إذن :
s(2k-1.m) = s(2k-1). s(m)=2k-1). s(m) -------> (1)
، و بما أن n عددا تاما ، فإنه أيضا نعرف أن :
s(n)=2n = 2k.m -------> (2)
من 1 ، 2 نستنتج أن :
2k.m = (2k-1). s(m) -------> (3)
أي إن 2k-1 يقسم 2k.m و من هنا 2k-1 يقسم m ، أي إن : m = (2k-1)M ، و بتعويض هذا الأخير في المعادلة (3) ، و بقسمة الطرفين على 2k-1 نحصل على 2k.M=s(m) .
بما أن كلا من m,M هما قواسم لـ m إذا من السهولة أن نعرف أن :
2k.M=s(m)³ m+M = 2k.M ، و بالتالي : s(m) = m+M .
و هذا يعني أن m عدد أولي له عاملان فقط و هما نفسه m و الواحد M ، و هكذا يكون :
m = 2k-1 عددا أوليا .
نظرية 2 : إذا كان العدد أولي فإن n يكون أوليا أيضا .
( البرهان )
نظرية 2 : إذا كان العدد 2n-1 أولي فإن n يكون أوليا أيضا .
( البرهان )
نفرض أن r , s عددان صحيحان موجبان ، بالتالي الحدودية xrs-1 تساوي :
xrs-1 = (xs-1)(xs(r-1) + xs(r-2)+ ... + xs + 1 ) ،
أي إنه إذا كانت n مركبة ( و لتكن تساوي r.s بحيث 1 < s £ n ) فإن 2n-1 تكون أيضا مركبة لأنها تقبل القسمة على 2s-1 .
نعود الآن للأعداد التامة حيث أنه لعلك لاحظت أيضا أن الأعداد التامة المذكورة و هي :
(6 , 28 , 496 , 8128 ) كلها تنتهي إما بالعدد 6 أو العدد 8 ، و هذا يمكن إثباته بسهولة ، و لكنها لا تنتهي بالكيفية المتغيرة (6 , 8 , 6 , 8 ,.. ) ، و لو كتبنا الأعداد التامة الأربعة السابقة بالنظام الثنائي فسنجد انها كالتالي :
110
11100
1111110000
111111100000
من غير المعروف حتى الآن هل هناك عدد تام فردي ، و لكن إذا كان موجودا فحتما أنه سيكون كبيرا جدا ، و الحقيقة أن هذه المسألة هي أقدم مسألة غير محلولة لحد الآن في الرياضيات .
عندما نريد النظر في أعداد ميرسن و التحقق من كونها أولية نبحث في العادة عن أي قواسم صغيرة ، و النظرية التالية لفيرمات و أويلر مهمة جدا بهذا الخصوص و هي :
نظرية 3 : لو فرضنا أن العددان p,q ، فإذا كان q يقسم Mp= ، فإن
q = +/-1(mod
و q = 2kp + 1 لبعض الأعداد الصحيحة k .
تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من كونها غير منتظمة و بالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب ، بل إن لها تأثير أكبر من ذلك حيث وسعت خيال الرياضيين للإبحار فيما عرف بالأعداد الأولية الكبيرة و التي يقف العقل أمامها منذهلا من ضخامة هذه الأعداد و كيف توصل إليها العقل بنوعيه البشري و الآلي ، فيكفي أن نقول أن أكبر عدد أولي تم اكتشافه مؤخرا يحتاج لكتابته بخط صغير إلى ورقة طولها يقارب خمسة كيلومترات !!!
موقع الأرقام يتقدم بالشكر إلى أصحاب العديد من المواقع الإنجليزية وإلى صاحب موقع صندوق الرياضيات ، ونرجو أن نكون قد وفقنا بعض الشيء لمنفعة المتابع والباحث والطالب .
أعداد ميرسين الأولية
يتكرر هذا الإسم كثيرا في عالم الأعداد الأولية ، و هي الأعداد من الصورة : ، و لعل الذي جذب الأنظار إلى هذه الأعداد هو سهولة التحقق من أوليتها في الحواسيب الثنائية ، لذلك أكبر الأعداد الأولية المعروفة حاليا من هذه الصورة من الأعداد .
لقد كان عدد من الرياضيين السابقين يعتقدون أن العدد من الصورة يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا ، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : = 2047 = 23.89 ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 × 89 ، و في عام 1603 تحقق كاتالدي (Cataldi) أن العددان و أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرمات في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31 .
بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (Marin Mersenne) 1588-1648 ، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركبا لكل الأعداد n < 257 الصحيحة ، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه .
تعريف : عندما يكون العدد أوليا فإنه يسمى بعدد ميرسين الأولي .
كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد ( n<257 ) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين ، كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحق من موضوعته ، فبقيت كذلك إلى 100 سنة و ذلك عندما تحقق أويلر (Euler ) في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين لوكاس ( Lucas ) أن العدد كان أوليا ، و بعد سبع سنوات أثبت بيرفوستين (Pervouchine ) أن العدد أوليا و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس (Powers ) في بداية القرن القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددان الأوليان و و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :
(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي .
( أنظر : قائمة بأعداد ميرسين )
أعداد ميرسين المعروفة ( Mp= 2p-1 ) :
المكتشف
سنة الإكتشاف
عدد أرقام العدد ( Mp )
الأس (P)
م
----
----
1
2
1
----
----
1
3
2
----
----
2
5
3
----
----
3
7
4
anonymous
1456
4
13
5
Cataldi
1588
6
17
6
Cataldi
1588
6
19
7
Euler
1772
10
31
8
Pervushin
1883
19
61
9
Powers
1911
27
89
10
Powers
1914
33
107
11
Lucas
1876
39
127
12
Robinson
1952
157
521
13
Robinson
1952
183
607
14
Robinson
1952
386
1279
15
Robinson
1952
664
2203
16
Robinson
1952
687
2281
17
Riesel
1957
969
3217
18
Hurwitz
1961
1281
4253
19
Hurwitz
1961
1332
4423
20
Gillies
1963
2917
9689
21
Gillies
1963
2993
9941
22
Gillies
1963
3376
11213
23
Tuckerman
1971
6002
19937
24
Noll & Nickel
1978
6533
21701
25
Noll
1979
6987
23209
26
Nelson & Slowinski
1979
13395
44497
27
Slowinski
1982
25962
86243
28
Colquitt & Welsh
1988
33265
110503
29
Slowinski
1983
39751
132049
30
Slowinski
1985
65050
216091
31
Slowinski & Gage
1992
227832
756839
32
Slowinski & Gage
1994
258716
859433
33
Slowinski & Gage
1996
378632
1257787
34
Armengaud, Woltman,
et. al. (GIMPS)
1996
420921
1398269
35
Spence, Woltman,
et. al. (GIMPS)
1997
895932
2976221
36
Clarkson, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
1998
909526
3021377
37
Hajratwala, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
1999
2098960
6972593
38
( المصدر : http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml )
العدد التام ونظريات هامة
نظرا لوجود ارتباط بين الأعداد الأولية و الأعداد التامة فارتأيت توضيح مفهوم العدد التام قبل الدخول في النظريات و الإختبارات التي وضعها العلماء لفحص الأعداد و معرفة أوليتها .
عدد من الحضارات القديمة كانت مهتمة بالعلاقات بين العدد و مجموع عوامله ، و غالبا ما تقدم تفسيرات سحرية ، و أحد هذه العلاقات أفرزت ما يسمى بالعدد التام . ( انظر تعريف العدد التام )
أول عدد تام هو 6 حيث أن : 6 = 1 + 2 + 3
و العدد التام التالي هو : 28= 1+ 2 + 4 + 7 + 14
و العددان التامان التاليان هما : 496 و 8128 .
كانت هذه الأعداد الأربعة هي الأعداد التامة المعروفة حتى عصر المسيح ، و لو جئنا إلى هذه الأعداد لتحليلها فسوف نجد أنه بإمكاننا تحليلها كالتالي : 2.3 , 4.7 , 13.31 , 64.127 ، فنلاحظ أن جميعها من الصورة لكل ( n = 2,3,5,7 ) بالترتيب ، و في كل حالة هو من أعداد ميرسين الأولية ، و هنا مربط اللغز بشأن علاقة الأعداد التامة بأعداد ميرسين الأولية .
و نستطيع مما سبق أن نثبت بسهولة النظريات التالية :
نظرية 1 : يقال للعدد n أنه تاما إذا و فقط إذا كان على الصورة ، و عدد أولي .
( البرهان )
نظرية 1 : يقال للعدد n أنه تاما إذا و فقط إذا كان على الصورة 2k-1(2k-1) ، و 2k-1 عدد أولي
( البرهان )
نفرض أولا أن p = 2k-1 عددا أوليا ، و n = 2k-1(2k-1) . لإثبات أن العدد nتاما يجب أن نثبت أن : sigma(n)=2n . ( انظر معنى sigma)
بما أن دالة السيجما ضربية (multiplicative ) ، و s(p) = p+1=2k ، بالتالي نستطيع أن نعرف أن : s(n) = s(2k-1). s(p) = (2k-1)2k = 2n ، و هذا يثبت أن n عدد تام .
و على الجانب الآخر ، لنفرض أن n عددا تاما زوجيا ، و ليكن n = 2k-1.mn حيث m عدد فردي ، k ³ 2. و بما أن دالة السيجما ضربية ، إذن :
s(2k-1.m) = s(2k-1). s(m)=2k-1). s(m) -------> (1)
، و بما أن n عددا تاما ، فإنه أيضا نعرف أن :
s(n)=2n = 2k.m -------> (2)
من 1 ، 2 نستنتج أن :
2k.m = (2k-1). s(m) -------> (3)
أي إن 2k-1 يقسم 2k.m و من هنا 2k-1 يقسم m ، أي إن : m = (2k-1)M ، و بتعويض هذا الأخير في المعادلة (3) ، و بقسمة الطرفين على 2k-1 نحصل على 2k.M=s(m) .
بما أن كلا من m,M هما قواسم لـ m إذا من السهولة أن نعرف أن :
2k.M=s(m)³ m+M = 2k.M ، و بالتالي : s(m) = m+M .
و هذا يعني أن m عدد أولي له عاملان فقط و هما نفسه m و الواحد M ، و هكذا يكون :
m = 2k-1 عددا أوليا .
نظرية 2 : إذا كان العدد أولي فإن n يكون أوليا أيضا .
( البرهان )
نظرية 2 : إذا كان العدد 2n-1 أولي فإن n يكون أوليا أيضا .
( البرهان )
نفرض أن r , s عددان صحيحان موجبان ، بالتالي الحدودية xrs-1 تساوي :
xrs-1 = (xs-1)(xs(r-1) + xs(r-2)+ ... + xs + 1 ) ،
أي إنه إذا كانت n مركبة ( و لتكن تساوي r.s بحيث 1 < s £ n ) فإن 2n-1 تكون أيضا مركبة لأنها تقبل القسمة على 2s-1 .
نعود الآن للأعداد التامة حيث أنه لعلك لاحظت أيضا أن الأعداد التامة المذكورة و هي :
(6 , 28 , 496 , 8128 ) كلها تنتهي إما بالعدد 6 أو العدد 8 ، و هذا يمكن إثباته بسهولة ، و لكنها لا تنتهي بالكيفية المتغيرة (6 , 8 , 6 , 8 ,.. ) ، و لو كتبنا الأعداد التامة الأربعة السابقة بالنظام الثنائي فسنجد انها كالتالي :
110
11100
1111110000
111111100000
من غير المعروف حتى الآن هل هناك عدد تام فردي ، و لكن إذا كان موجودا فحتما أنه سيكون كبيرا جدا ، و الحقيقة أن هذه المسألة هي أقدم مسألة غير محلولة لحد الآن في الرياضيات .
عندما نريد النظر في أعداد ميرسن و التحقق من كونها أولية نبحث في العادة عن أي قواسم صغيرة ، و النظرية التالية لفيرمات و أويلر مهمة جدا بهذا الخصوص و هي :
نظرية 3 : لو فرضنا أن العددان p,q ، فإذا كان q يقسم Mp= ، فإن
q = +/-1(mod
و q = 2kp + 1 لبعض الأعداد الصحيحة k .
